حل کاردرکلاس صفحه13 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۳ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان عزیز! این سوال در مورد یافتن صفرهای یک **تابع چندجمله‌ای درجه سه** است. چون یکی از صفرها را داده، می‌توانیم با استفاده از آن هم $k$ را پیدا کنیم و هم برای تجزیه تابع از آن کمک بگیریم. ### گام اول: پیدا کردن مقدار $k$ اگر $x=۲$ یکی از **صفرهای** تابع $f(x)$ باشد، یعنی $f(۲) = ۰$. پس $x=۲$ را در ضابطه تابع جایگذاری می‌کنیم: $$f(x) = x^۳ + kx^۲ - x - ۲$$ $$f(۲) = (۲)^۳ + k(۲)^۲ - (۲) - ۲ = ۰$$ $$۸ + ۴k - ۲ - ۲ = ۰$$ $$۴ + ۴k = ۰$$ $$۴k = -۴$$ $$\mathbf{k = -۱}$$ ### گام دوم: بازنویسی ضابطه تابع با جایگذاری $k = -۱$ در ضابطه تابع، شکل کامل $f(x)$ به دست می‌آید: $$f(x) = x^۳ + (-۱)x^۲ - x - ۲$$ $$\mathbf{f(x) = x^۳ - x^۲ - x - ۲}$$ ### گام سوم: یافتن صفرهای دیگر (تقسیم چندجمله‌ای) چون $x=۲$ صفر تابع است، پس عبارت $(x-۲)$ یکی از **عامل‌های** (مقسوم‌علیه‌های) $f(x)$ است. برای پیدا کردن سایر عوامل (که صفرهای دیگر را مشخص می‌کنند)، $f(x)$ را بر $(x-۲)$ تقسیم می‌کنیم. این کار را با استفاده از **روش هورنر** یا تقسیم معمولی انجام می‌دهیم: * **تقسیم هورنر:** | | $۱$ | $-۱$ | $-۱$ | $-۲$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $x=۲$ | $\downarrow$ | $۲$ | $۲$ | $۲$ | | | $۱$ | $۱$ | $۱$ | $\mathbf{۰}$ (باقیمانده) | **خارج قسمت** تقسیم، یک چندجمله‌ای درجه دوم است که ضرایب آن به ترتیب $۱, ۱, ۱$ هستند: $$\text{خارج قسمت} = x^۲ + x + ۱$$ ### گام چهارم: یافتن ریشه‌های خارج قسمت تابع $f(x)$ به صورت زیر تجزیه می‌شود: $$f(x) = (x-۲)(x^۲ + x + ۱) = ۰$$ صفرها از ریشه‌های عبارت درجه دوم $x^۲ + x + ۱ = ۰$ به دست می‌آیند. از **فرمول دلتا** استفاده می‌کنیم: * $a=۱, b=۱, c=۱$ $$\Delta = b^۲ - ۴ac = (۱)^۲ - ۴(۱)(۱) = ۱ - ۴ = -۳$$ چون **$\Delta < ۰$** است، عبارت درجه دوم $x^۲ + x + ۱ = ۰$ **ریشه حقیقی ندارد** (فقط ریشه‌های مختلط دارد که در این مقطع مورد نظر نیستند). **نتیجه‌گیری**: * مقدار $\mathbf{k = -۱}$ است. * **صفرهای دیگر تابع** (در مجموعه اعداد حقیقی) **وجود ندارند**. * تنها صفر حقیقی تابع، همان $\mathbf{x=۲}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۳ حسابان یازدهم سلام! برای پیدا کردن **صفرهای** تابع $f(x)$، باید معادله $f(x) = ۰$ را حل کنیم. تابع داده شده $f(x) = x^۴ - ۱۰x^۲ + ۱۶$ یک **معادله درجه چهار** است که به دلیل وجود فقط توان‌های زوج ($x^۴$ و $x^۲$)، به آن **معادله شبه‌درجه دو** یا **معادله چهارجمله‌ای متقارن** می‌گوییم. ### گام اول: تبدیل به معادله درجه دو (تغییر متغیر) با تعریف یک **متغیر جدید**، معادله درجه چهار را به معادله درجه دو تبدیل می‌کنیم: * **تعریف:** $u = x^۲$ * **نتیجه:** $u^۲ = (x^۲)^۲ = x^۴$ معادله $x^۴ - ۱۰x^۲ + ۱۶ = ۰$ تبدیل می‌شود به: $$\mathbf{u^۲ - ۱۰u + ۱۶ = ۰}$$ ### گام دوم: حل معادله درجه دو بر حسب $u$ معادله درجه دوم جدید را با روش **تجزیه** حل می‌کنیم. به دنبال دو عدد می‌گردیم که: * حاصل‌ضرب آن‌ها $P = ۱۶$ باشد. * حاصل‌جمع آن‌ها $S = -۱۰$ باشد. این دو عدد **$-۲$** و **$-۸$** هستند. $$(u - ۲)(u - ۸) = ۰$$ پس دو جواب برای $u$ داریم: * $u_۱ = ۲$ * $u_۲ = ۸$ ### گام سوم: بازگشت به متغیر اصلی $x$ حالا که $u$ را پیدا کردیم، باید به متغیر اصلی، یعنی $x$ برگردیم. می‌دانیم که $u = x^۲$. * **حالت اول ($u = ۲$):** $$x^۲ = ۲ \implies \mathbf{x = \pm \sqrt{۲}}$$ * **حالت دوم ($u = ۸$):** $$x^۲ = ۸ \implies x = \pm \sqrt{۸}$$ $$\mathbf{x = \pm ۲\sqrt{۲}}$$ (زیرا $\sqrt{۸} = \sqrt{۴ \times ۲} = ۲\sqrt{۲}$) ### نتیجه‌گیری همه **چهار صفر** حقیقی تابع $f(x)$ عبارتند از: $$\mathbf{\sqrt{۲}, -\sqrt{۲}, ۲\sqrt{۲}, -۲\sqrt{۲}}$$